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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BEEF

1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;

2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF

3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

【答案】1;(2)见解析;(3)见解析

【解析】

试题(1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2,求出△ABC的面积;

2)作EG∥BCABG,证明△BGE≌△ECF,得到BE=EF

3)作EH∥BCAB的延长线于H,证明△BHE≌△ECF,得到BE=EF

解:(1四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°

∴△ABC是等边三角形,又E是线段AC的中点,

∴BE⊥ACAE=AB=1

∴BE=

∴△ABC的面积=×AC×BE=

2)如图2,作EG∥BCABG

∵△ABC是等边三角形,

∴△AGE是等边三角形,

∴BG=CE

∵EG∥BC∠ABC=60°

∴∠BGE=120°

∵∠ACB=60°

∴∠ECF=120°

∴∠BGE=∠ECF

△BGE△ECF中,

∴△BGE≌△ECF

∴EB=EF

3)成立,

如图3,作EH∥BCAB的延长线于H

∵△ABC是等边三角形,

∴△AHE是等边三角形,

∴BH=CE

△BHE△ECF中,

∴△BHE≌△ECF

∴EB=EF

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