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    如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=
    1
    4
    x2于点A、B，交抛物线C2：y=
    1
    9
    x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
    【猜想与证明】
    填表：
    m123
    AB
    CD
    由上表猜想：对任意m（m＞0）均有
    AB
    CD
    =______．请证明你的猜想．
    【探究与应用】
    （1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为______；
    （2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
    【联想与拓展】
    如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为______．
    猜想与证明：
    当m=1时，1=
    1
    4
    x2，1=
    1
    9
    x2，
    ∴x=±2，x=±3，
    ∴AB=4，CD=6，
    ∴
    AB
    CD
    =
    2
    3
    ；
    当m=2时，4=
    1
    4
    x2，4=
    1
    9
    x2，
    ∴x=±4，x=±6，
    ∴AB=8，CD=12，
    ∴
    AB
    CD
    =
    2
    3
    ；
    当m=3时，9=
    1
    4
    x2，9=
    1
    9
    x2，
    ∴x=±6，x=±9，
    ∴AB=12，CD=18，
    ∴
    AB
    CD
    =
    2
    3
    ；
    ∴填表为
    m123
    AB
    CD
    2
    3
    2
    3
    2
    3
    对任意m（m＞0）均有
    AB
    CD
    =
    2
    3
    ．
    理由：将y=m2（m＞0）代入y=
    1
    4
    x2，得x=±2m，
    ∴A（-2m，m2），B（2m，m2），
    ∴AB=4m．
    将y=m2（m＞0）代入y=
    1
    9
    x2，得x=±3m，
    ∴C（-3m，m2），D（3m，m2），
    ∴CD=6m．
    ∴
    AB
    CD
    =
    4m
    6m
    =
    2
    3
    ，
    ∴对任意m（m＞0）均有
    AB
    CD
    =
    2
    3
    ；

    探究与运用：
    （1）∵O、Q关于直线CD对称，
    ∴PQ=OP．
    ∵CD∥x轴，
    ∴∠DPQ=∠DPO=90°．
    ∴△AOB与△CQD的高相等．
    ∵
    AB
    CD
    =
    2
    3
    ，
    ∴AB=
    2
    3
    CD．
    ∵S△AOB=
    1
    2
    AB•PO，S△CQD=
    1
    2
    CD•PQ，
    ∴
    S△AOB
    S△CQD
    =
    1
    2
    AB•PO
    1
    2
    CD•PQ
    =
    2
    3
    ，
    （2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，
    ∴PO=PB=m2，AB=2OP
    ∴m2=
    1
    4
    m4，
    ∴4m2=m4，
    ∴m1=0，m2=-2，m3=2．
    ∵m＞0，
    ∴m=2，
    ∴OP=4，AB=8，
    ∴PD=6，CD=12．
    ∴S△AOB=
    1
    2
    ×8×4    =16
    ∴S△CQD=
    1
    2
    ×12×4    =24，
    ∴S△CQD-S△AOB=24-16=8．
    当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，
    ∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP
    ∴m2=
    1
    9
    m4，
    ∴9m2=m4，
    ∴m1=0，m2=-3，m3=3．
    ∵m＞0，
    ∴m=3，
    ∴OP=6，AB=12，
    ∴PQ=9，CD=18．
    ∴S△AOB=
    1
    2
    ×9×12    =54
    ∴S△CQD=
    1
    2
    ×9×18    =81，
    ∴S△CQD-S△AOB=81-54=27；

    联想与拓展
    由猜想与证明可以得知A（-2m，m2），D（3m，m2），
    ∵AE∥y轴，DF∥y轴，
    ∴E点的横坐标为-2m，F点的横坐标为3m，
    ∴y=
    1
    9
    （-2m）2，y=
    1
    4
    （3m）2，
    ∴y=
    4
    9
    m2，y=
    9
    4
    m2，
    ∴E（-2m，
    4
    9
    m2），F（3m，
    9
    4
    m2），
    ∴AE=m2-
    4
    9
    m2=
    5
    9
    m2，DF=
    9
    4
    m2-m2=
    5
    4
    m2．
    S△AEM=
    1
    2
    ×
    5
    9
    m2•2m=
    5
    9
    m3，
    S△DFM=
    1
    2
    ×
    5
    4
    m2•3m=
    15
    8
    m3．
    ∴
    S△AEM
    S△DFM
    =
    5
    9
    m3
    15
    8
    m3
    =
    8
    27
    ．
    故答案为：
    2
    3
    ；
    2
    3
    ；
    8
    27
    ．
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    （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
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    （1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
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    如图，抛物线y=
    1
    2
    x2-
    5
    2
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