Question

如图，点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的同侧（点E在点F的左侧），过点E、F分别作x轴的垂线，分别交x轴于点B、D，交直线y=2ax+b于点A、C，设S为直线AB、CD与x轴、直线y=2ax+b所围成图形的面积．则S与y₁、y₂的数量关系式为：S=______．

Answer 1

根据题意得：y₁=ax₁²+bx₁+c，y₂=ax₂²+bx₂+c，
点A的坐标为：（x₁，2ax₁+b），点C的坐标为：（x₂，2ax₂+b），
∴AB=2ax₁+b，CD=2ax₂+b，BD=x₂-x₁，
∵EB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是直角梯形，
∴S=

1

2

（AB+CD）•BD=

1

2

（2ax₁+b+2ax₂+b）（x₂-x₁）=a（x₂+x₁）（x₂-x₁）+b（x₂-x₁）=（ax₂²+bx₂）-（ax₁²+bx₁）=（ax₂²+bx₂+c）-（ax₁²+bx₁+c）=y₂-y₁．
∴S与y₁、y₂的数量关系式为：S=y₂-y₁．
故答案为：y₂-y₁．