Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P，对称轴直线x=1与x轴交于点D，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点E在线段BC上，若△DEB为等腰三角形，求点E的坐标；
（3）点F、Q都在该抛物线上，若点C与点F关于直线x=1成轴对称，连结BF、BQ，如果∠FBQ=45°，求点Q的坐标；
（4）将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转后的图形为△BO′C′，BO′与BP重合时，则△BO′C′不在BP上的顶点C′的坐标为

（3+

3 5

5

，

9 5

5

）

（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线对称轴和点A、C的坐标，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可；
（2）求出点B的坐标，然后求出OB=OC=3，从而得到∠OBC=∠OCB=45°，对称轴与BC的交点即为所求的点E，BD的垂直平分线与BC的交点也是点E的位置，然后分别求出点E的坐标即可；
（3）设BQ与FC的延长线相交于点H，根据两直线平行，内错角相等可得∠FCB=∠OBC=45°，从而得到∠FCB=∠FBQ，根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BFH和△CFB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出FH，再求出CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式求出BH的解析式，与抛物线联立求解即可得到点Q的坐标；
（4）求出顶点P的坐标，根据点P、C的坐标求出PC与y轴的夹角为45°，从而得到∠PCB=90°，利用勾股定理列式求出PC、BC、PB，过点B作x轴的垂线BG，过点C′作C′G⊥BG交点为G，再求出∠C′BG=∠PBC，根据两组角对应相等，两三角形相似求出△PBC和△C′BG相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、C′G，然后写出点C′的坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，3），对称轴为直线x=1，
∴

a-b+c=0 c=3 - b 2a =1

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴点B的坐标为（3，0），
又∵C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴当点E为对称轴与BC的交点，BD的垂直平分线与BC的交点时，都能使△DEB是等腰三角形，
易求直线BC的解析式为y=-x+3，
E为对称轴与BC的交点时，x=1，y=-1+3=2，
E为BD的垂直平分线与BC的交点时，x=2，y=-2+3=1，
∴点E的坐标为（1，2）或（2，1）时，△DEB是等腰三角形；

（3）如图，设BQ与FC的延长线相交于点H，
∵点C与点F关于直线x=1成轴对称，
∴F（2，3），CF∥x轴，
∴CF=2，∠FCB=∠OBC=45°，
∵∠FBQ=45°，
∴∠FCB=∠FBQ，
又∵∠F=∠F，
∴△BFH∽△CFB，
∴

FB

CF

=

FH

FB

，
由勾股定理得，FB=

(2-3)2+(3-0)2

=

10

，
∴

10

2

=

FH

10

，
解得FH=5，
∴CH=FH-CF=5-2=3，
∴点H的坐标为（-3，3），
设直线BH的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3k+b=0 -3k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b= 3 2

，
∴直线BH的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，
联立

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得

x1=3 y1=0

（为点B坐标，舍去），

x2=- 1 2 y2= 7 4

，
∴点Q的坐标为（-

1

2

，

7

4

）；

（4）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点P（1，4），
∵点C（0，3），
∴PC与y轴的夹角为45°，
∴∠PCB=180°-45°-45°=90°，
由勾股定理得，PC=

(1-0)2+(4-3)2

=

2

，
BC=

32+32

=3

2

，
PB=

(3-1)2+(0-4)2

=2

5

，
∵△BOC绕点B旋转后为△BO′C′，
∴C′B=BC=3

2

，∠C′BO′=∠OBC=45°，
如图，过点B作x轴的垂线BG，过点C′作C′G⊥BG交点为G，
∵∠C′BG+∠GBP=∠C′BO′=45°，
∠PBC+∠GBP=∠CBG=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
∴∠C′BG=∠PBC，
又∵∠PCB=∠C′GB=90°，
∴△PBC∽△C′BG，
∴

C′G

PC

=

BG

BC

=

C′B

PB

，
即

C′G

2

=

BG

3 2

=

3 2

2 5

，
解得BG=

9 5

5

，C′G=

3 5

5

，
又∵OB=3，
∴点C′的坐标为（3+

3 5

5

，

9 5

5

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理，（2）难点在于要分情况讨论确定出点E的位置，（3）作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，（4）根据旋转的性质以及点的坐标特征，作辅助线构造并确定出与△PBC相似的三角形是解题的关键，也是最大的难点．