Question

9．如图，直角三角形纸片ACB，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′，折痕为AD；再沿DE折叠，使点B落在DC′的延长线上的点B′处．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求折痕DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得DA和DE分别是∠CDC′和∠BDB′的角平分线，据此即可求解；
（2）在直角△ABC中利用勾股定理求得BC的长，设DC=DC′=x，则BD=4-x，在直角△ABC和直角△BDC′分别利用三角函数即可得到关于x的方程，求得x的值，再在直角△ACD中利用勾股定理求得AD的长，再根据∠CAD=∠BAD，则函数值相等，据此列方程求解．

解答 解：（1）∵∠ADC=∠ADC′，∠BDE=∠B′DE，
又∵∠ADC+∠ADC′+∠BDE+∠B′DE=180°，
∴∠ADE=90°；
（2）∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4．
由折叠可知，∠ACD′=∠ACD=90°，DC=DC′，AC′=AC=3，BC′=5-3=2．
设DC=DC′=x，则BD=4-x．
∵在直角△ABC中，tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
又∵在直角△BDC′中，tan∠B=$\frac{DC′}{BC′}$=$\frac{x}{2}$．
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{3}{4}$．
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∵∠CAD=∠BAD，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=tan∠BAD=$\frac{DE}{AD}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{DE}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了图形的折叠与三角函数，角度相等则对应的三角函数值相等，据此求得DC的长度是本题的关键．