Question

已知抛物线y=x²+(2n-1)x+n²-1 (n为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.

    ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

    ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：（1）由已知条件，得：n2－1=0 解这个方程，得： n1=1 ，n2=－1； 当n=1时，得y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限； ∴所求的函数关系式为y=x2－3x (2)由y=x2－3x，令y=0，得x2－3x=0，解得x1=0 ，x2=3； ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0） ∴它的顶点为，对称轴为直线  ①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知 ∴B（1，0） ∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x2－3x上， ∴点A的纵坐标y=12－3×1=－2。 ∴AB=|y |=2 ∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=6 ②∵点A在抛物线y=x2－3x上，可以设A点的坐标为（x，x2－3x）， ∴B点的坐标为 （x，0）。 ∴BC=3－2x，A在x 轴的下方， ∴x2－3x＜0 ∴AB=| x2－3x |=3x－x2 ∴矩形ABCD的周长 ∵a=-2＜0 ∴当时， 矩形ABCD的周长P最大值是。 其它解法，请参照评分建议酌情给分。