Question

7．如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，
（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．
（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；
（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．
（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）设DE交AC于M，DF交BC于N．由轴对称图形的性质可知EM=DM，ED⊥AC，然后可证明AC∥DF，由平行线分线成比例定理可知$\frac{CE}{CF}=\frac{EM}{MD}=1$；
（2）①当D与A不重合时．先证明四边形CNDM是矩形，从而得到MD∥BC，由平行线的性质可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊锐角三角函数可知ED=$\sqrt{3}x$，DN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×$（4-x）=2-$\frac{1}{2}x$，然后由平行线分线段成比例定理可知DN=NF，从而得到DF=2DN=4-x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y与x的函数关系式；②当D与A重合时，y=2AC=4；
（3）①当点E在弧AC上时．由题意可知∠CAD=60°，由点E与点D关于AC对称可知：∠EAD=120°，故此点E不在弧AC上，故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立；②当点F在$\widehat{BC}$上时，如图3所示，连接BF、AF．由题意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，从而可证明△DFB为等边三角形，于是得到DB=DF，然后再证明AD=DF，从而可知点D与点O重合，于是得到AD=$\frac{1}{2}AB$=2；
（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此点E运动的轨迹为一条线段，由（3）可知∠FBD=60°，故此点F运动的轨迹也是一条线段，然后画出图形，最后利用三角形的面积公式即可求得答案．

解答 解：（1）成立．
如图1所示：设DE交AC于M，DF交BC于N．

∵点E与点D关于AC对称，
∴EM=DM，ED⊥AC．
又∵DE⊥DF，
∴AC∥DF．
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{EM}{MD}=1$．
∴CE=CF．
（2）①当D与A不重合时．
∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，
∴四边形CNDM是矩形．
∴MD∥BC．
∴∠ADM=∠ABC=30°．
∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，
∴MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$．
∴ED=$\sqrt{3}x$．
在Rt△BDN中，∠DBN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×$（4-x）=2-$\frac{1}{2}x$．
∵MD∥BC，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{FN}{DN}=1$．
∴DN=NF．
∴DF=2DN=4-x．
在Rt△EDF中，由勾股定理可知EF=y=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（4-x）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$（0＜x≤4）；
②当D与A重合时，如图2所示；

∵CF=EF，
∴y=2AC=4．
（3）①当点E在弧AC上时．
∵∠CAD=60°，点E与点D关于AC对称，
∴∠EAD=∠DAM=60°．
∴∠EAD=120°．
∵当点E在弧AC上时，∠EAD≤90°，
∴此种情况不成立．
故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立．
∴AD=0．
②当点F在$\widehat{BC}$上时，如图3所示，连接BF、AF．

∵∠DBN=30°，∠BND=90°，
∴∠FDB=60°．
∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，
∴DF=DB．
∴△DFB为等边三角形．
∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．
∴∠AFD=30°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°．
∵∠CFA=∠CBA=30°，
∴∠CFB=120°．
∴∠CFB+∠FBD=180°．
∴∠CF∥DB．
∴∠FAD=∠CFA=30°．
∴∠FAD=∠AFD=30°．
∴AD=DF=DB．
∴点D与点O重合．
∴AD=$\frac{1}{2}AB$=2．
综上所述，AD=0或AD=2．
（4）如图4所示；E、F的初始位置为E₁、F₁，E₁与A点重合，E、F的终止位置为E₂、F₂，F₂与B点重合．

∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，
∴点E运动的轨迹为线段AE₁．
∵由（3）可知∠FBD=60°，
∴点F运动的轨迹为线段BF₂．
∴阴影部分的面积即为所求，S=2×$\frac{1}{2}$×AC•BC=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，根据∠EAD和∠FBD为固定值，判断点E、F运动的轨迹都是一条线段是解题的关键．