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    【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．

    【答案】证明见解析

    【解析】

    在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．

    如图，在AC上截取AE=AB，

    ∵AD平分∠BAC，

    ∴∠CAD=∠BAD，

    在△ABD和△AED中，

    ，

    ∴△ABD≌△AED（SAS），

    ∴DE=BD，∠AED=∠ABC，

    ∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，

    ∴∠CDE=∠C，

    ∴CE=DE，

    ∵AE+CE=AC，

    ∴AB+BD=AC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
    【特例探究】

    （1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a= ， b=；
    如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ， b=；
    （2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
    （3）【拓展证明】如图4，ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

    （1）若BM=BN，求t的值；
    （2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
    （3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解学生的体能情况，随机选取了1000名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢．

    项目
    学生

    长跑

    短跑

    跳绳

    跳远

    200

    √

    ×

    √

    √

    300

    ×

    √

    ×

    √

    150

    √

    √

    √

    ×

    200

    √

    ×

    √

    ×

    150

    √

    ×

    ×

    ×


    （1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率；
    （2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率；
    （3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】某学校将为初一学生开设ABCDEF共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）

    选修课

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    人数

    40

    60

    100

    根据图表提供的信息，下列结论错误的是（　　）

    A.这次被调查的学生人数为400人
    B.扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
    C.被调查的学生中喜欢选修课E，F的人数分别为80，70
    D.喜欢选修课C的人数最少

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于（　　）

    A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是_____．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．

    （1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=　 　度；

    （2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE=　 　；（用含x、y的代数式表示）

    （3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1 ， 点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2 ， 点A1的对应点为点A2 ．

    （1）画出△A1B1C1；
    （2）画出△A2B2C2；
    （3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．

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