Question

11．已知：在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（2）求四边形AQMP的周长；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；
（2）根据平行四边形的定义得到四边形APMQ是平行四边形，于是得到∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，推出∠PMC=∠QMB．根据等腰三角形的性质得到BQ=QM，PM=PC．根据得到结论；
（3）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形．

解答 证明：（1）∵PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∵QM∥AC，
∴△BMQ∽△BCA；

（2）解：∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；

（3）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形，
证明：∵AB∥MP，点M是BC的中点，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴P是AC的中点，
∴PM是三角形ABC的中位线，
同理：QM是三角形ABC的中位线．
∵AB=AC，
∴QM=PM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ是菱形．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．