Question

8．如图，过A（-4，0），$B（0\;，\;\;4\sqrt{3}）$两点的直线与直线y=-$\sqrt{3}$x交于点C，平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿戈轴向左平移，到C点时停止．直线l分别交线段BC，OC于点D，E，以DE为边向右侧作等边△DEF．设△DEF与△BCO重叠部分图形的周长为m，直线l的运动时间为t（秒）．
（1）求C点坐标；
（2）当点F落在y轴上时，求相应的时间t的值；
（3）求m与t之间的关系式．【说明：不考虑直线l平移过程中“起点”与“终点”时的情况．】

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求出直线AB的解析式，再利用方程组求出交点坐标C．
（2）设E（t，-$\sqrt{3}$t），则D（-t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），推出DE=-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，由△DFE是等边三角形，可得点F坐标（-4t+6，2$\sqrt{3}$），当点F在y轴上时，-4t+6=0，解方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①当0＜t≤1.5时，重叠部分四边形DMNE．②当1.5＜t＜2时，重叠部分是△DEF．分别计算即可．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（-2，2$\sqrt{3}$）．

（2）如图1中，作FH⊥DE于H．设E（-t，$\sqrt{3}$t），则D（-t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），

∴DE=-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
∵△DFE是等边三角形，
∴FH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=-3t+6，
∴点F坐标（-4t+6，2$\sqrt{3}$），
当点F在y轴上时，-4t+6=0，
∴t=1.5，
∴t=1.5s时，点F在y轴上．

（3）如图2中，

①当0＜t≤1.5时，重叠部分四边形DMNE，
m=3（-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）-2FM=-6$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$-2•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（-4t+6）=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+4$\sqrt{3}$．
②当1.5＜t＜2时，重叠部分是△DEF，
m=3（-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）=-6$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$．
综上所述，m=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{3}}{3}t+4\sqrt{3}}&{（0＜t≤1.5）}\\{-6\sqrt{3}t+12\sqrt{3}}&{（1.5＜t＜2）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、等边三角形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．