Question

19．如图，已知一次函数y=$\frac{4}{3}$x+m的图象与x轴交于点A（-6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标
（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．
（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把点A（-6，0）代入y=$\frac{4}{3}$x+m，求出m，即可．
（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意可得$\frac{1}{2}$•|a+6|•8=16，解方程即可．
（3）分三种情形讨论即可①当AB=AP时，②当BA=BP时，③当PA=PB时．
（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，$\frac{4}{3}b+8$），根据题意列出方程求出点E坐标，再利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）把点A（-6，0）代入y=$\frac{4}{3}$x+m，得m=8，
∴点B坐标为（0，8）．

（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意$\frac{1}{2}$•|a+6|•8=16，
解得a=-2或-10，
∴点C坐标（-2，0）或（-10，0）．

（3）如图1中，

①当AB=AP时，AP=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
可得P₁（-16，0），P₂（4，0）．
②当BA=BP时，OA=OP，可得P₃（6，0）．
③当PA=PB时，∵线段AB的垂直平分线为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，可得P₄（$\frac{7}{3}$，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（-16，0）或（4，0）或（6，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，$\frac{4}{3}b+8$），

由题意$\frac{1}{2}$•BD•（-b）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•6•8，
∴b=-4，
∴点E坐标（-4，$\frac{8}{3}$），
设直线DE的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{6}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴这条直线的函数表达式y=-$\frac{1}{6}$x+2．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．