Question

（2011•海曙区模拟）如图，矩形OABC，B（9，6），点A，点C分别在x轴，y轴上，D为BC上一动点，把△OCD沿OD对折，C点落在点P处
（1）当点P在OA上时，求tan∠DAB；
（2）当点P在AC上时，求D点坐标；
（3）当点P在直线y=2x-6上时，求D点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出四边形OPDC为正方形，求出CD=OC=6，BD=3，即可证出tan∠DAB的值；
（2）根据OD⊥AC，得出∠COD=∠ACB，△OCD∽△CBA，即可求出CD的值，从而得出D点的坐标；
（3）先过点P作OA与N，再设P（x，2x-6），在Rt△OPN中，根据x²+（2x-6）²=36，解出x的值，从而得出PM的值，再证明△DPM∽△PON，得出

DM

PN

=

PM

ON

，求出DM=

9

5

，所以CD=CM-DM，从而求出D点的坐标．

解答：解：（1）由题意得：OC=AB=6，OA=CB=9，
当点P在OA上时，
四边形OPDC为正方形，
∴CD=OC=6，
∴BD=3，
∴tan∠DAB=

DB

AB

=

3

6

=

1

2

；

（2）当点P在AC上时，
OD⊥AC，
∴∠COD=∠ACB，
∴△OCD∽△CBA，
∴

CD

AB

=

OC

BC

，即

CD

6

=

6

9

，
∴CD=4，
∴D点坐标为：（4，6）；

（3）过点P作OA于N，交BC于M，设P（x，2x-6），
Rt△OPN中，ON²+PN²=OP²，
即x²+（2x-6）²=36，
解得：x₁=0，x₂=

24

5

，
∴ON=

24

5

，
PN=2x-6=

18

5

，
∴PM=6-PN=

12

5

，
易证△DPM∽△PON，
∴

DM

PN

=

PM

ON

，
即

DM

18 5

=

12 5

24 5

，
∴DM=

9

5

，
∴CD=CM-DM=ON-DM=

24

5

-

9

5

=3，
∴D（3，6）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据锐角三角函数的定义和相似三角形的判定与性质进行解答，特别注意P点的位置．