Question

5．小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B=∠C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠DAC=∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C．
小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B=∠C，而是要证明BE=CD．”
（1）根据小敏所读的题，判断“∠B=∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理．
（2）根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理．
（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？

Answer 1

分析 （1）由两个角相等是不能推出三角形全等的，只推出两个三角形相似；
（2）已经有两个角对应相等，再加一个对应边相等的条件就可以证明全等了；
（3）至少要有一组对应边相等；

解答 解：（1）小敏的推理不正确．正确推理如下：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠B=90°-∠A=∠C；
（2）条件为AB=AC或AE=AD．
①若条件为AB=AC：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△CAD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AEB}\\{∠A=∠A}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BAE（AAS），
∴BE=CD；
②若条件为AE=AD：
若条件为AB=AC：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△CAD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AEB}\\{AD=AE}\\{∠A=∠A}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BAE（ASA），
∴BE=CD；
（3）要判断两个三角形全等，不可缺少的元素是边，至少要有一对边对应相等．

点评 本题主要考查全等三角形的判定方法，属于基础题．全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．这五种方法务必熟练掌握．五种方法当中，每种方法都要求有边对应相等，这一点要注意．