Question

在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE交BF于M，CF交DE于N．
（1）求证：MENF为平行四边形；
（2）若∠ANE=∠ABC，AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AN的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由平行四边形的性质结合条件可证明四边形AECF和四边形BEDF为平行四边形，可分别得到AE∥CF，BF∥DE，可证明四边形MENF为平行四边形；
（2）由条件可证明△ADN∽△DEC，利用相似三角形的性质可求得AN．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
∴∠AEC+∠EAF=∠EAF+∠AFC=180°，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE，
∴BE=DF，且BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形MENF为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC+∠ECD=180°，
而∠ANE=∠ABC，
∴∠AND=∠DCE，
又∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DEC，
∴△ADN∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AN

CD

，
∴AN=

AD•CD

DE

=

3 3 ×4

6

=2

3

．

点评：本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．