Question

已知抛物线．

（Ⅰ）求它的对称轴与轴交点的坐标；

（Ⅱ）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为，若=90°，求此时抛物线的解析式；

（Ⅲ）若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点．将抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由．

Answer 1

提示：如图，作∥交于点，作交于点，，即为所求）

∴，．

∴．

．

∵=90°，

∴．

即．．

解得，(舍去)．                                 …………………………7分

∴抛物线的解析式为．                  …………………………8分

（Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为，

由不动点的定义，得方程，       [来源:学科网]

整理，得．

∵平移后的抛物线只有一个不动点，

∴此方程有两个相等的实数根．

∴判别式，                        …………………………9分

有，．

∴顶点（，）在直线上．