Question

17．在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．
（1）如图1，若∠ADB=120°，AC=2$\sqrt{3}$，求DE的长；
（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF=3EF；
（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质可求得∠ABD=∠C=∠BAD=30°，则可求得∠CAD=90°，在Rt△ACD中可求得AD，则可求得DE；
（2）过A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，可证明△ABE≌△CAD，再证得△AGE是等腰三角形，可证得结论；
（3）取BE中点M，延长AM至N，使MN=AM，连接BN，EN，由条件可证明△ABN≌△ACD，再由勾股定理即可求得AE、BE、BD之间的数量关系．

解答 （1）解：
∵DA=DB，∠ADB=120°，
∴∠ABC=∠BAD=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠CAD=90°，
在RtACD中，tan30°=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，AE=CD=2AD=4
∴DE=AE-AD=CD-AD=4-2=2；
（2）证明：
如图，过A作AG∥BC，

∵DB=DA，AB=AC，
∴∠BAD=∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠BAD=∠ACB，
∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，
∵BE=2CD，
∴AD=2CD=2AE，
∴AE=DE，
∵AG∥BC，
∴∠G=∠DCE，∠GAE=∠CDE，
在△AGE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DCE}\\{∠AEG=∠CED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AGE≌△DCE（AAS），
∴GE=CE，AG=CD=AE，
∴△AGE为等腰三角形，
∴∠GAF=∠ABC=∠BAD，
∴F为GE的中点，
∴CE=EG=2EF，
∴CF=3EF；
（3）如图3，

取BE中点M，延长AM至N，使MN=AM，连接BN，EN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴AE∥BN，
∴∠NBC=∠D，BN=AE=CD，
∵AB=AC，DB=DA，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD，
∴∠BAC=∠D=∠NBC，
∵∠ABN=∠NBC+∠ABC，
∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠ABN=∠ACD，
在△ABN和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{BN=CD}\\{∠ABN=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴BD=AD=AN=2AM，
∵BE⊥AD，
∴AE²+ME²=AM²，
∴AE²+（$\frac{1}{2}$BE）²=（$\frac{1}{2}$AN）²，
∴AE²+$\frac{1}{4}$BE²=$\frac{1}{4}$BD²．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识．在（1）中求得∠CAD=90°是解题的关键，在（2）中构造全等三角形，证得CE=2EF是解题的关键，在（3）中构造全等三角形，利用勾股定理找到线段之间的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．