【题目】如图,△ABC 中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,写出求tanC的思路.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接OD,求出OD∥AC,求出DF⊥OD,根据切线的判定得出即可;
(2)由AC=3AE可设AC=3x,AE=x,则AB=AC=3x,EC=4x;连结BE,由AB是直径可知∠AEB=90°,根据勾股定理求出BE,解直角三角形求出即可.
(1)证明:连接OD,
∵AB为直径∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∵OD为半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:思路是:
连接BE,
∵AC=3AE,AB=AC,
∴设AE=x,AC=AB=3x,
∵AB是直径,
∴∠E=90°,
在Rt△BEA中,由勾股定理得:BE=,
在Rt△ECB中,tanC=.
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【题目】为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】为开发大西北,某工程队承接高铁修筑任务,在山坡处需要修建隧道,为了测量隧道的长度,工程队用无人机在距地面高度为500米的C处测得山坡南北两端A、B的俯角分别为∠DCA=45°、∠DCB=30°(已知A、B、C三点在同一平面上),求隧道两端A、B的距离.(参考数据:≈1.73)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C',此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为( )
A. 12 B. 6 C. 6 D.
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【题目】明朝的数学家程大位在《算法统宗》中有一道古诗趣题:甲赶群羊逐草茂,乙拽只羊随其后,戏问甲及一百否?甲云所曰无差谬;若得这般一群羊,再添半群小半群,得你一只来方凑,玄机妙算谁猜透?其大意是:甲赶一群羊去放,乙也牵着一只羊跟在甲的后面.乙问甲:“你的这群羊有没有一百只呢?”甲说:“我再得这样的一群羊,再得这群羊的一半,还得这群羊的四分之一,最后凑上你的这只羊,正好是一百只.”问甲原有多少只羊?设甲原有x只羊,根据题意,可列方程为_________________________
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【题目】为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计,现从该校随机抽取n名学生作为样本,采用问卷调查的方式收集数据参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项,并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中提供的信息,解答下列问题:
补全条形统计图;
若该校共有学生2400名,试估计该校喜爱看电视的学生人数.
若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名,求恰好抽到2名男生的概率.
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【题目】根据函数学习中积累的知识与经验,李老师要求学生探究函数y=+1的图象.同学们通过列表、描点、画图象,发现它的图象特征,请你补充完整.
(1)函数y=+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到;
(2)函数y=+1的图象与x轴、y轴交点的情况是: ;
(3)请你构造一个函数,使其图象与x轴的交点为(2,0),且与y轴无交点,这个函数表达式可以是 .
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【题目】如图,在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△ADE的周长为( )
A. 19B. 20C. 27D. 30
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【题目】十八大报告首次提出建设生态文明,建设美丽中国.十九大报告再次明确,到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障,提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键.截止到2013年,我国已经进行了八次森林资源清查,其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下:
表1全国森林面积和森林覆盖率
清查次数 | 一 (1976年) | 二 (1981年) | 三 (1988年) | 四 (1993年) | 五 (1998年) | 六 (2003年) | 七 (2008年) | 八 (2013年) |
森林面积(万公顷) | 12200 | 1150 | 12500 | 13400 | 15894. 09 | 17490.92 | 19545.22 | 20768.73 |
森林覆盖率 | 12.7% | 12% | 12.98% | 13.92% | 16.55% | 18.21% | 20.36% | 21.63% |
表2北京森林面积和森林覆盖率
清查次数 | 一 (1976年) | 二 (1981年) | 三 (1988年) | 四 (1993年) | 五 (1998年) | 六 (2003年) | 七 (2008年) | 八 (2013年) |
森林面积(万公顷) | 33.74 | 37.88 | 52.05 | 58.81 | ||||
森林覆盖率 | 11.2% | 8.1% | 12.08% | 14.99% | 18.93% | 21.26% | 31.72% | 35.84% |
(以上数据来源于中国林业网)
请根据以上信息解答下列问题:
(1)从第 次清查开始,北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率;
(2)补全以下北京森林覆盖率折线统计图,并在图中标明相应数据;
(3)第八次清查的全国森林面积20768.73(万公顷)记为a,全国森林覆盖率21.63%记为b,到2018年第九次森林资源清查时,如果全国森林覆盖率达到27.15%,那么全国森林面积可以达到 万公顷(用含a和b的式子表示).
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