Question

直线y=x+a和抛物线y=x²+bx+c都经过A（1，0）、B（3，2）两点，且不等式x+a＞x²+bx+c 的整数解为K，若关于x的方程x²-（m²+5）x+2m²+6=0的两实根之差的绝对值为n，且n满足n=2（K+1），求m的值．

Answer 1

分析：利用待定系数法首先求出两函数的解析式，再结合图象得出k的值，再利用根与系数的关系求出m的值．

解答：解：∵y=x+a和抛物线y=x²+bx+c都经过A（1，0）、B（3，2）两点，
∴将A（1，0）代入y=x+a，
得：y=x-1，
将A（1，0）、B（3，2）两点，代入抛物线y=x²+bx+c解析式得：

1+b+c=0 9+3b+c=2

，
解得：b=-3，c=2，
∴抛物线解析式为：y=x²-3x+2，
∵不等式x+a＞x²+bx+c 的整数解为K，
即：x-1＞x²-3x+2的解集，
结合两图象的交点坐标以及图象即可得出解集，
1＜x＜3，
∴整数解为K为：2，
∵关于x的方程x²-（m²+5）x+2m²+6=0的两实根之差的绝对值为n，且n满足n=2（K+1），
∴n=2（K+1）=6，
∵|x₁-x₂|=6，
∴（x₁-x₂）²=36，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，
∴（m²+5）²-4（2m²+6）=36，
整理得：m⁴+2m²-35=0，
解得：m²=5或-7（不合题意舍去），
∴m=±

5

．

点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合题目，利用函数图象判断函数值的大小问题以及利用根与系数的关系进行计算是解决问题的关键也是中考热点题型．