Question

已知抛物线y=x²-2ax+a² （a为常数，a＞0），G为该抛物线的顶点．
（1）如图1，当a=2时，抛物线与y轴交于点M，求△GOM的面积；
（2）如图2，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°，所得新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），D为x轴的正半轴上一点，以OD为一对角线作平行四边形OQDE，其中Q点在第一象限．QE交OD于点C，若QO平分∠AQC，AQ=2QC．
①求证：△AQO≌△EQO；
②若QD=OG，试求a的值．

Answer 1

解：（1）当a=2时，令x=0，则y=a²=4，
∴点M（0，4），
∵y=x²-2ax+a²=（x-a）²，
∴当a=2时，顶点G（2，0），
∴OM=4，OG=2，
S_△GOM=OM•OG=×4×2=4；

（2）①∵四边形OQDE为平行四边形，
∴OC=CE=QE，
又∵AQ=2QC，
∴AQ=EQ，
∵QO平分∠AQC，
∴∠AQO=∠EQO，
∵在△AQO和△EQO中，
，
∴△AQO≌△EQO（SAS）；

②∵由题意知G（a，0），
∴OG=a，
∵QD=OG，
∴QD=a，
∵四边形OQDE为平行四边形，
∴OE=QD=a，
又∵△AOQ≌△EOQ，
∴OA=OE=a，
即A（0，a），
由旋转知，旋转前抛物线点A的坐标为（2a，a），
把（2a，a）代入y=x²-2ax+a²得，4a²-2a•a+a²=a，
即a²=a，
解得a=1或0，
∵a为常数，a＞0
∴a=0不合题意，舍去，
∴a=1．
分析：（1）先求出点M的坐标，再把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后求出点G的坐标，从而得到OM、OG，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）①根据平行四边形的对角线互相平分可得OC=CE=QE，然后求出AQ=EQ，再根据角平分线的定义可得∠AQO=∠EQO，然后利用“边角边”证明△AQO和△EQO全等；
②根据平行四边形的对边相等可得OE=QD，再根据全等三角形对应边相等可得OA=OE，从而得到点A的坐标，再根据旋转的性质求出点A旋转前的坐标，然后代入抛物线解析式进行计算即可求出a的值．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与y轴的交点的求解，顶点坐标，全等三角形的判定与性质，平行四边形的对边相等，以及旋转的性质，（2）中求出点A的坐标以及旋转前的坐标是解题的关键，也是本题的难点．