Question

14．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：

三边a、b、c	a+b-c	$\frac{S}{l}$
3、4、5	2	$\frac{1}{2}$
5、12、13	4	1
8、15、17	6	$\frac{3}{2}$

（2）如果a+b-c=m，观察上表猜想：$\frac{S}{l}$=$\frac{m}{4}$ （用含有m的代数式表示）．
（3）证明（2）中的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题意填表即可；
（2）根据表中数据即可得到结论；
（3）根据勾股定理的逆定理和三角形的面积即可得到结论．

解答 解（1）

三边a、b、c	a+b-c	$\frac{S}{l}$
3、4、5	2	$\frac{1}{2}$
5、12、13	4	1
8、15、17	6	$\frac{3}{2}$

故答案为：$\frac{1}{2}$，1；$\frac{3}{2}$；
（2）$\frac{S}{L}=\frac{m}{4}$．
 故答案为：$\frac{m}{4}$．

（3）证明：
在Rt△ABC中，
∵a²+b²=c²，
∴2ab=（a+b）²-c²即2ab=（a+b+c）（a+b-c），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=S，
∴2ab=4S，
∵a+b+c=l a+b-c=m 2ab=4S 2ab=（a+b+c）（a+b-c），
∴4S=l×m，
∴$\frac{S}{L}=\frac{m}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理得到逆定理即可得到结论．