Question

10．如图，已知A是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移$\frac{3}{2}$个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若$\frac{OA}{MN}$=2，
（1）求直线MN的解析式；
（2）求k的值．

Answer 1

分析 （1）设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0，$\frac{3}{2}$）代入，可得直线MN的解析式；
（2）过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，根据△MDN∽△ABO，可得$\frac{AB}{MD}$=$\frac{AO}{MN}$=2，设A（a，a），则可得M（$\frac{1}{2}$a，$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$），根据双曲线经过点A，M，即可得到k的值．

解答 解：（1）∵OA在第一象限的角平分线上，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴将OA向上平移$\frac{3}{2}$个单位后，N（0，$\frac{3}{2}$），
可设直线MN的解析式为y=x+b，
把N（0，$\frac{3}{2}$）代入，可得b=$\frac{3}{2}$，
∴直线MN的解析式为y=x+$\frac{3}{2}$；

（2）如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，
由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，
∴△MDN∽△ABO，
∴$\frac{AB}{MD}$=$\frac{AO}{MN}$=2，
设A（a，a），则AB=a，
∴MD=$\frac{1}{2}$a=DN，
∴DO=$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{1}{2}$a，$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$），
∵双曲线经过点A，M，
∴k=a×a=$\frac{1}{2}$a×（$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$），
解得a=1，
∴k=1．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．