Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P是斜边AC上一个动点，D是边BC上一动点，始终有PB=PD，再过D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：△BPO≌△PDE．
（2）当点P运动到OA的中点时，求出此时CD：AP的值．
（3）当点P运动到OC的中点时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请画出此时的图形并直接写出CD′：AP的值（不必写过程）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠PBO=∠DPE和∠BOP=∠PED=90°，即可证明△BPO≌△PDE，即可解题；
（2）易证∠ABP=∠PBO，即可证明△ABP≌△CPD，根据全等三角形对应边相等可得AP=CD；
（3）作出图形，易证∠D'P'E=OBP'，即可证明△BOP'≌△P'ED'，可得P'E=OB，ED'=OP'，即可求得

AP′

CD′

的值，即可解题．

解答：证明：（1）∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠C=45°，
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPE=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPE，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中，

∠BPO=∠DPE ∠BOP=∠PED=90° PB=PD

，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）∵△ABP和△CPD，
∴∠ABP=∠PBO，
在△ABP和△CPD中，

∠A=∠C ∠ABP=∠DPE PB=PD

，
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD；
（3）作出图形，

设∠OBP'=x，则∠P'BC=45°-x，
∵BP'=P'D'，∴∠P'D'C=45°-x，
∵CD′=

2

D′E，D'E⊥CE，
∴∠CD'E=45°，CE=D'E，
∴∠P'D'E=90°-x，
∴∠D'P'E=OBP'，
在△BOP'和△P'ED'中，

∠BOP′=∠P′ED′ ∠OBP′=∠D′P′E′ BP′=P′D′

，
∴△BOP'≌△P'ED'（AAS），
∴P'E=OB，ED'=OP'，
∵AP'=AO+OP'=3P'O，
CD'=

2

DE=

2

P'O，
∴

AP′

CD′

=

3 2

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△BPO≌△PDE、△ABP≌△CPD和△BOP'≌△P'ED'是解题的关键．