Question

如图，已知A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，3），⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O．若E是⊙C上的一个动点，线段AE与y轴交于点D．
（1）线段AE长度的最小值是______，最大值是______；
（2）当点E运动到点E₁和点E₂时，线段AE所在的直线与⊙C相切，求由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所围成的图形的面积；
（3）求出△ABD的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵A（-3，0），
∴OA=3，
∵⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O，
∴⊙C的半径为3，
∴AE长度的最小值为3，最大值为3+3×2=9；
故答案为：3，9；

（2）如图，连接CE₁、CE₂，
∵点E运动到点E₁和点E₂时，线段AE所在的直线与⊙C相切，
∴CE₁⊥AE₁，CE₂⊥AE₂，
∵cos∠ACE₁===，
∴∠ACE₁=60°，
过点E₁作E₁F⊥x轴于F，则E₁F=CE₁•sin60°=3×sin60°=3×=，
∴△ACE₁的面积=AC•E₁F=×6×=，
同理可得，△ACE₂的面积=，
∴四边形AE₁CE₂的面积=△ACE₁的面积+△ACE₂的面积=+=9，
由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所围成的图形的面积=四边形AE₁CE₂的面积-扇形CE₁E₂的面积，
=9-，
=9-3π；

（3）∵∠ACE₁=60°，
∴∠DAO=90°-ACE₁=90°-60°=30°，
∴OD=AO•tan∠DAO=3tan30°=3×=，
∵点A到BD的距离为OA的长度，不变，
∴点D在y轴负半轴时，△ABD的面积取得最大值，
此时BD=OB+OD=3+，
最大面积为：×（3+）×3=，
在y轴正半轴时，△ABD的面积取得最小值，
时BD=OB-OD=3-，
最小面积为：×（3-）×3=．
分析：（1）根据动点E在x轴上时，AE取得最小值与最大值解答；
（2）连接CE₁、CE₂，根据圆的切线的定义可得CE₁⊥AE₁，CE₂⊥AE₂，解直角三角形求出∠ACE₁=60°，过点E₁作E₁F⊥x轴于F，利用∠ACE₁的正弦求出E₁F，然后利用三角形的面积求出△ACE₁的面积，同理可得△ACE₂的面积，再根据由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所围成的图形的面积=四边形AE₁CE₂的面积-扇形CE₁E₂的面积，然后列式计算即可得解；
（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO=30°，利用∠DAO的正切值求出OD的长度，根据三角形的面积，点D在y轴负半轴时，△ABD的面积取得最大值，在y轴正半轴时，△ABD的面积取得最小值，然后进行计算即可得解，
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，圆的切线问题，解直角三角形，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，（1）（3）确定出最大值与最小值时的点E的位置是解题的关键，（2）根据对称性求出四边形的面积，并表示出围成图形的表示是解题的关键．