Question

10．在△ABC中，点D在AB边上，AD=CD，DE⊥AC于点E，CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如图2，当∠ACB=90°，∠B=30°时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中与线段AC相等的线段（线段AC除外）．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用等腰三角形的性质得∠DCA=∠ADC，CE=AE，再利用CF∥AB得到∠ECF=∠EAD，则∠DCA=∠ECF，于是根据等腰三角形的判定方法可得AD=CF，所以四边形ADCF为平行四边形，
加上DA=DC可判断四边形ADCF是菱形；
（2）如图2，先证明△ADC为等边三角形得到AC=AD=CD，∠ACD=60°，再利用菱形的性质可得AC=AD=DC=CF=AF，然后证明BD=CD即可．

解答 解：（1）证明：如图1，
∵AD=CD，DE⊥AC，
∴∠DCA=∠ADC，CE=AE，
∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EAD，
∴∠DCA=∠ECF，
即CE平分∠DCF，
而CE⊥DF，
∴CD=CF，
∴AD=CF，
∴AD∥CF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
而DA=DC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
而DA=DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴AC=AD=CD，∠ACD=60°，
∵四边形ADCF为菱形，
∴AC=AD=DC=CF=AF，
∵∠B=∠DCB=30°，
∴BD=CD，
∴AC=AD=DC=CF=AF=BD．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形）．；菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．