Question

7．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结BD，CD．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）当点C在线段BE上的什么位置时，△BCD是等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=DAE=90°，于是∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，于是证得△ABD≌△ACE；
（2）当点C在线段BE的中点时，△BCD是等腰直角三角形由△ABD≌△ACE得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，由△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，得到∠ABC=∠ACB=45°，证得∠CBD=ABD-ABC=135°=45°=90°，根据点C在线段BE的中点，推出BC=CE，由于BD=CE，得到△BCD是等腰三角形．

解答 解：（1）△ABD≌△ACE，
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∠BAC=DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE；

（2）当点C在线段BE的中点时，△BCD是等腰直角三角形．
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=ACE=180°-∠ACB=180-45°=135°，
∴∠CBD=ABD-ABC=135°=45°=90°，
∵点C在线段BE的中点，
∴BC=CE，
∵BD=CE，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握定理是解题的关键．