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    15．已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a}\\{x-y=3a}\end{array}\right.$
    （1）求函数y与x的表达式，并在如图所示的坐标系中画出它的图象；
    （2）设（1）中的函数与x轴交于点A，过点C（-1，0）作BC⊥x轴交（1）中函数图象于点B，请在x轴上找一点D，连接BD，使得△BCD与△ABC相似（不包括全等），并求出点D的坐标
    （3）若点P的坐标为（m，0），求以P为圆心，1为半径的圆与（1）函数的图象有交点时，求m的取值范围
    （4）（2）的条件下，如M、N分别是边AB、AD上的动点，连接MN，设AM=DN=n，问是否存在这样的n，使得△AMN与△ADB相似？若存在，请直接写出n的值；若不存在，说明理由．

    分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，①×3+②得到，4x+8y=12，即y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，画出一次函数的图象即可．
    （2）由△BCD与△ABC相似（不包括全等），推出∠ABD=90°，由△BCD∽△ACB，推出$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，求出CD可得D（-2，0），再根据对称轴可得D′坐标（1，0）也满足条件．
    （3）如图3中，当⊙P与直线AB相切时，设切点为E，连接PE，由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，可得$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，推出AP=$\sqrt{5}$，推出OP=3-$\sqrt{5}$，此时m=3-$\sqrt{5}$，当⊙P与直线AB相切于点F时，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此时m=3+$\sqrt{5}$，由此即可解决问题．
    （4）这样的m存在．当d（-2，0）时，分两种情形讨论①当MN∥BD时，△AMN∽△ABD．②当MN⊥AD时，△AMN∽△ADB．分别列方程即可解决问题；当D（-1，0）时同法可求．

    解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，
    ①×3+②得到，4x+8y=12，
    ∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
    函数图象如图1所示．


    （2）如图2中，

    ∵△BCD与△ABC相似（不包括全等），
    ∴∠ABD=90°，
    ∵C（-1，0），B（-1，2），A（3，0），
    BC=2，AC=4，
    ∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC+∠BAC=90°，
    ∴∠DBC=∠BAC，∵∠BCD=∠BCA，
    ∴△BCD∽△ACB，
    ∴$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，
    ∴$\frac{2}{4}$=$\frac{DC}{2}$，
    ∴CD=1，
    ∴D（-2，0）．
    根据对称性当D′（1，0）时，△BCD′与△ABC相似，
    综上所述，当点D坐标为（-2，0）或（1，0）时，△BCD与△ABC相似（不包括全等）．

    （3）如图3中，

    当⊙P与直线AB相切时，设切点为E，连接PE，
    在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，PE=1，
    由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，
    ∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，
    ∴AP=$\sqrt{5}$，
    ∴OP=3-$\sqrt{5}$，此时m=3-$\sqrt{5}$，
    当⊙P与直线AB相切于点F时，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此时m=3+$\sqrt{5}$，
    ∴以P为圆心，1为半径的圆与（1）函数的图象有交点时，m的取值范围为3-$\sqrt{5}$≤m≤3+$\sqrt{5}$．

    （4）这样的m存在．如图4中，

    在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=2$\sqrt{5}$，
    当MN∥BD时，△AMN∽△ABD，则$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AD}$，
    ∴$\frac{n}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-n}{5}$，
    解得n=10$\sqrt{5}$-20，
    如图5中，

    当MN⊥AD时，△AMN∽△ADB，
    则 $\frac{AM}{AD}$=$\frac{AN}{AB}$，
    ∴$\frac{n}{5}$=$\frac{5-n}{2\sqrt{5}}$，
    解得n=25-10$\sqrt{5}$，
    当D（1，0）时，同法可得n的值为$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
    综上所述，满足条件的n的值为10$\sqrt{5}$-20或25-10$\sqrt{5}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

    点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆与直线的位置关系、二元一次方程组、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形的特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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    （2）若四边形PQBA为梯形，求t的值．
    （3）如图1，将△POQ绕点P顺时针旋转90°得到△PCD，当点D落在直线AB上时，求点D的坐标．
    （4）如图2，以PQ为对称轴作△POQ的轴对称图形△PEQ，当△PEQ的一边与AB平行时，请直接写出符合条件的所有t的值．

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