Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的一点，连结DE，并延长交BA延长线于F，且ED=FE，AG∥FD交BC于G，DH∥BA交AC于H，
求证：GD：CD=DH：FB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先，看到FB实际上由两段组成，DH：FB并没有直接的比例关系可以推导，所以想到把FB拆分为BA和AF；为了方便化简，把FB放到分子上：FB：DH=（BA+AF）：DH=BA：DH+AF：DH，进一步由平行线分线段成比例得出答案即可．

解答：证明：∵DH∥BA，D是BC的中点，
∴BA：DH=BC：DC=2DC：DC=2，AH：HC=BD：DC=1．
∵AG∥FD，ED=FE，
∴AF：DH=AE：EH=FE：ED=1，GD：CD=AE：EC；
∴FB：DH=BA：DH+AF：DH=2+1=3，
即DH：FB=1：3，
∵AH：HC=1；AE：EH=1，
∴GD：CD=AE：EC=AE：（EH+HC）=AE：（EH+AH）=AE：（EH+AE+EH）=AE：（3AE）=1：3，
∴GD：CD=DH：FB．

点评：此题考查平行线分线段成比例，以及线段中点的意义，关键是把问题转化为FB：DH=（BA+AF）：DH=BA：DH+AF：DH求得比值解决问题．