Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，交抛物线于点D，交x轴于点E．

（1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点B、点D的坐标；

（2）抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接OP，BP，设运动时间为t秒（t＞0）．在点P的运动过程中，请求出：当t为何值时，∠OPB＝90°？

（3）如图2，点Q在抛物线上运动（点Q不与点A、B重合），当△QBC的面积与△ABC的面积相等时，请求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；B（3，0），D（2，1）；（2）t＝-1.

（3）（，）、（、）或（2，1）

【解析】

（1）根据待定系数法即可得到抛物线的表达式，再结合题意即可得到点B、点D的坐标；

（2）假设t秒时，点P（2，1+t），由题意可得OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，根据勾股定理可得4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，计算即可得到答案．

（3）根据题意算出点Q与BC的距离，求出与BC平行且距离为此距离的平行线的直线方程，与二次函数联立即可求解.

解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则点B（3，0），

抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

即3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①，

函数的对称轴为：x＝2，则点D（2，1）；

（2）t秒时，点P（2，1+t），

则OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，

∵∠OPB＝90°，则4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，

解得：t＝-1（负值已舍去）．

（3）如下图，过点A作BC的平行线交抛物线于点Q、交y轴于点K，

则△QBC的面积与△ABC的面积相等，过点A作AG⊥BC于点G，过点K作KH⊥BC于点H，则AG＝KH，

直线BC的倾斜角为45°，则AG＝AB＝＝KH，

则KC＝2，故点K（﹣1，0），[来源:.Com]

则直线AQ的函数表达式为：y＝x﹣1…②，

联立①②并解得：x＝1或2（舍去1），

故点Q（2，1）；

在BC的下方与AQ等距离位置作BC的抛物线交抛物线于点Q′、Q″，

同理可得直线Q′Q″的表达式为：y＝x﹣5…③，

联立①③并解得：x＝，

故点Q（Q′、Q″）的坐标为：（，）、（、）；

综上，点Q的坐标为：（，）、（、）或（2，1）．