Question

10．如图，已知直线y=-x+5分别交x轴，y轴于B，C两点，抛物线y=x²+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁=6S₂，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，令y=0求得直线y=-x+5与两坐标轴的交点坐标，则B（5，0），C（0，5），然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）设M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），则N（x，-x+5），然后得到MN的长度与x的函数关系，然后利用配方法可求得MN的最大值；
（3）先求得点N的坐标，然后再求得A，B的坐标，则可得到△ABN的面积，于是可得到平行四边形CBPQ的面积S₁=30，依据平行四边形的面积公式可求得平行四边形的高=3$\sqrt{2}$，点B作BC的垂线，截取DB=3$\sqrt{2}$，过点D作直线DE∥BC，交x轴与点E，交抛物线与P，P′两点，然后证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=6，故此可知E（-1，0），设直线DE的解析式为y=-x+t，将点E（-1，0）代入可求得直线DE的解析式为y=-x-1，最后将y=-x-1与y=x2-6x+5联立可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵在y=-x+5中，令x=0得：y=5，令y=0得：x=5．
∴B（5，0），C（0，5）．
将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{25+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得：b=-6，c=5．
所以抛物线的解析式为y=x²-6x+5．
（2）如图1所示：

设M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），则N（x，-x+5）．
∵MN=（-x+5）-（x²-6x+5）=-x²+5x=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，MN有最大值$\frac{25}{4}$．
（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，
∴-x+5=-2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x²-6x+5=0，得：x=1或x=5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∴AB=5-1=4．
∴△ABN的面积S₂=$\frac{1}{2}$×4×2.5=5．
∴平行四边形CBPQ的面积S₁=6S₂=30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为h．
∵BC=5$\sqrt{2}$，
∴BC•h=30．
∴h=3$\sqrt{2}$．
如图2所示：过点B作BC的垂线，截取DB=3$\sqrt{2}$，过点D作直线DE∥BC，交x轴与点E，交抛物线与P，P′两点．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°．
∴△EBD为等腰直角三角形，则BE=$\sqrt{2}$BD=6．
∵B（5，0），
∴E（-1，0）．
设直线DE的解析式为y=-x+t，将点E（-1，0）代入得：1+t=0，
解得：t=-1．
∴直线DE的解析式为y=-x-1．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-6x+5}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$
∴点P的坐标为（2，-3）或（3，-4）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，配方法求二次函数的最值，等腰直角三角形的性质和判定，三角形和平行四边形的面积公式，得到MN与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，求得直线DE的解析式是解答问题（3）的关键．