Question

6．对于任意实数a，b，c，d我们有如下公式：（a+b）（c+d）=（a+b）c+（a+b）d=ac+bc+ad+bd，回答下列问题：
（1）探究公式：（a+b+c）²=？
（2）探究公式：（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）=？
（3）若a+b+c=0，且a³+b³+c³=0，试说明a，b，c中至少有一个为零．

Answer 1

分析 （1）原式利用完全平方公式即可得到结果．
（2）原式利用多项式乘以多项式即可得到结果；
（3）由（2）可知（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）=a³+b³+c³-3abc，所以a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc，通过计算得出a³+b³+c³=（=（a+b+c）³-3（ab+bc+ca）（a+b+c）+3abc，由a+b+c=0，且a³+b³+c³=0，得出3abc=0，即可得出结论．

解答 解：（1）（a+b+c）²
=[a+（b+c）]²
=a²+2a（b+c）+（b+c）²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；
（2）（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）
=a³+ab²+ac²+a²b+b³+bc²+a²c+b²c+c³-a²b-b²c-ac²-ab²-bc²-ac²-3abc
=a³+b³+c³-3abc；
（3）由（2）可知，（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）=a³+b³+c³-3abc；
a³+b³+c³
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc
=（a+b+c）[（a+b+c）²-（3ab+3bc+3ca）]+3abc
=（a+b+c）³-3a（ab+bc+ca）-3b（ab+bc+ca）-3c（ab+bc+ca）+3abc
=（a+b+c）³-3（ab+bc+ca）（a+b+c）+3abc，
∵a+b+c=0，且a³+b³+c³=0，
∴3abc=0，
∴a，b，c中至少有一个为零．

点评 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．