Question

17．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可供利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料．
（1）试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m²；
（2）是否存在使矩形花园面积最大的砌法？如果存在，说明砌法；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可；
（2）设边AB的长是x米，则BC=（40-2x）米．利用矩形的面积公式列出函数关系是即可，然后利用配方法求得函数的最大值即可；

解答 解：（1）设AB=x米，则BC=（50-2x）米．
根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
当x=10，BC=50-10-10=30＞25，
故x₁=10（不合题意舍去），
当x=15时，BC=50-2×15=20（米）．
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形；解：（1）设边AB的长是x米，则BC=（37+3-2x）=（40-2x）米．

（2）存在，根据题意得：y=x（50-2x）=-2（x-$\frac{25}{2}$）+3125，
∴当AB=$\frac{25}{2}$m，BC=25m时，矩形花园面积最大．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据，根据题意列出关于函数的解析式是解题的关键．