Question

（1）如图1，在等边△ABC中，点P是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AP，以AP为边作等边△APQ，连结CQ．求证：∠ABC=∠ACQ．
（2）如图2，在等腰△ABC中，BA=BC，点P是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AP，以AP为边作等腰△APQ，使顶角∠APQ=∠ABC．连结CQ．试探究∠ABC与∠ACQ的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，点P是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AP，以AP为边作△APQ，使∠APQ=∠B，连结CQ．若要使∠ACQ=∠ABC一定成立，则△APQ与△ABC之间必须具备什么关系？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质，可得AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，进而得到∠BAP=∠CAQ，再利用SAS可证明△BAP≌△CAQ，继而得出结论；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得∴△BAP∽△CAQ，根据相似三角形的对应角相等，可得答案；
（3）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得∴△BAP∽△CAQ，根据相似三角形的对应角相等，可得答案．

解答：（1）证明：∵△ABC、△APQ是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，

AB=AC ∠BAP=CAQ AP=AQ

，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABC=∠ACQ；

（2）解：结论∠ABC=∠ACQ仍成立．
理由如下：
∵AB=BC，PA=PQ，顶角∠ABC=∠APQ，
∴∠BAC=∠PAQ，
△ABC∽△APQ，
∴

AB

AP

=

AC

AQ

．
∠BAP=∠BAC-∠PAC，∠CAQ=∠PAQ-∠PAC
∴∠BAP=∠CAQ

AB

AC

=

AP

AQ

，
∴△BAP∽△CAQ，
∠ABC=∠ACQ；

（3）若要使∠ACQ=∠ABC一定成立，则△APQ与△ABC之间必须具备BA=BC，顶角∠APQ=∠ABC，PA=PQ．
证明：∵AB=AC，PA=PQ，顶角∠ABC=∠APQ，
∴∠BAC=∠PAQ，
△ABC∽△APQ，
∴

AB

AP

=

AC

AQ

．
∠BAP=∠BAC-∠PAC，∠CAQ=∠PAQ-∠PAC
∴∠BAP=∠CAQ

AB

AC

=

AP

AQ

，
∴△BAP∽△CAQ，
∠ABC=∠ACQ．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等的条件，相似的条件，利用全等的性质、相似三角形的性质证明结论．