Question

在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=-x²+bx+c的图象交于点A（m，1）和B（-m，-1）（m≠0）．
（1）当m=2时，分别求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）若二次函数的顶点在反比例函数上，求出此时的m值；
（3）当x＞

2

4

时，这两个函数的增减性一致，请写出满足条件的最小整数m．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,反比例函数的性质,待定系数法求反比例函数解析式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）设反比例函数解析式为y=

k

x

，由于m=2时，A点坐标为（2，1）和B点坐标为（-2，-1），则k=2，得到反比例函数解析式为y=

2

x

；然后利用待定系数法确定二次函数的解析式为y=-x²+

1

2

x+4；
（2）由于反比例函数和二次函数y=-x²+bx+c的图象交于点A（m，1）和B（-m，-1），则

-m2+bm+c=1 -m2-bm+c=-1

，解得

b= 1 m c=m2

，则二次函数的解析式为表示为y=-x²+

1

m

x+m²，可得到二次函数的顶点为(

1

2m

，m2+

1

4m2

)，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到

1

2m

(m2+

1

4m2

)=m，解得m=±

2

2

；
（3）由于二次函数y=-x²+bx+c的图象的开口方向向下，则当x＞

1

2m

时，y随x的增大而减小，而当x＞

2

4

时，这两个函数的增减性一致，所以反比例函数图象分布在第一、三象限，抛物线顶点在第一象限，即0＜

1

2m

≤

2

4

，解得m≥

2

，于是得到m的最小整数为2．

解答：解：（1）设反比例函数解析式为y=

k

x

，
当m=2时，则A点坐标为（2，1）和B点坐标为（-2，-1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

；
把A（2，1）和B（-2，-1）代入y=-x²+bx+c得

-4+2b+c=1 -4-2b+c=-1

，
解得

b= 1 2 c=4

，
∴二次函数的解析式为y=-x²+

1

2

x+4；
（2）∵反比例函数和二次函数y=-x²+bx+c的图象交于点A（m，1）和B（-m，-1）
∴

-m2+bm+c=1 -m2-bm+c=-1

∴

b= 1 m c=m2

，
∴二次函数的解析式为y=-x²+

1

m

x+m²，
∴二次函数的顶点为(

1

2m

，m2+

1

4m2

)
又∵二次函数的顶点在反比例函数上，
∴

1

2m

(m2+

1

4m2

)=m，
∴m=±

2

2

；
（3）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象的开口方向向下，
∴当x＞

1

2m

时，y随x的增大而减小，
又∵当x＞

2

4

时，这两个函数的增减性一致，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，抛物线顶点在第一象限，
即0＜

1

2m

≤

2

4

，
∴m≥

2

∴m的最小整数为2．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了反比例函数和二次函数的性质．