Question

如图，在∠MON的两边依次截取OA=AB=BC=CD=2．
（1）若DC⊥OM，求∠MON；
（2）以AB长为半径作⊙B，若AC=2

3

，求证：CD是⊙B的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，设出∠MON=α，然后找到各角之间的关系，求出∠MON的度数．
（2）要证CD是⊙B的切线，就要证∠BCD=90°，利用特殊角的三角函数值求出∠2=30°，再求出∠4和∠5都等于45°，从而证得∠BCD=90°．

解答：解：如图，设∠MON=α
∵OA=AB
∴∠1=∠MON=α
∴∠2=∠MON+∠1=2α
又∵AB=BC
∴∠3=∠2=2α
∴∠4=∠MON+∠3=3α                                                                                 
又∵BC=CD
∴∠4=∠5=3α
∴∠MCD=∠MON+∠5=4α
又∵DC⊥OM
∴∠MCD=90°
∴4α=90°
α=22.5°
即∠MON=22.5°


（2）如图过点B作BE⊥AC
∵AB=BC，BE⊥AC，AC=2

3

∴AE=CE=

1

2

AC=

3

又∵AB=2
∴cos∠2=

AE

AB

=

3

2

∴∠2=30°
又∵∠2=2∠MON
∴∠MON=15°
又∵∠4=∠5=3∠MON
∴∠4=∠5=45°
∴∠BCD=90°
∴CD是⊙B的切线．

点评：这道题主要考查等腰三角形的性质和切线的判定定理，并会熟练的应用，体现数形结合思想的重要性．