Question

已知等边三角形ABC内接于⊙O，P为⊙O上异于A、B、C的动点．当点P为弦BC所对的劣弧上一点时（如图），连接PA、PB、PC，

（1）求证：PB+PC=PA；
（2）当点P为弦BC所对的优弧上一点时，连接PA、PB、PC，猜想PA、PB和PC的数量关系为：

 

，不必证明；
（3）⊙O半径为4，当PB=2时，求PA的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；
（2）当点P为弦BC所对的优弧上一点时，相当于P点在弦AB所对的劣弧

AB

上，所以有PC=PA+PB，或相当于P点在弦AC所对的

AC

上，所以有PB=PA+PC．
（3）根据⊙O的半径求出圆内接等边三角形的边长，然后根据余弦定理求得PA的长．

解答：（1）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，

AC=BC ∠ACD=∠BCP CP=CD

∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC


（2）解：PC=PA+PB或PB=PA+PC．

（3）解：如上图
∵△ABC都为等边三角形，⊙O半径为4，
∴AB=BC=AC=4

3

，
∵∠APB=∠ACB=60°，PB=2
根据余弦定理可知：PA²+PB²-AB²=2PA×PB•COS∠APB，
整理得PA²-2PA-44=0，
解得PA=1+3

5

或PA=1-3

5

（舍去）
∴PA=1+3

5

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角的定理、等边三角形的性质以及余弦定理是一个综合题，有一定难度．