Question

如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A，E之间，连接CE、CF、EF，有下列四个结论：
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
其中正确的结论的个数是

 

个．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据平行四边形的对角相等，等边三角形的每一个角都是60°表示出∠CDF=∠EBC，平行四边形的对边相等，等边三角形的三条边都相等可得CD=EB，DE=BC，然后利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；再表示出∠EAF，可得∠CDF=∠EAF，判定②正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△ECF是等边三角形，判定③正确；根据等边三角形的性质，只有∠ABC=150°时，CG⊥AE．

解答：解：在?ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，

DF=BC ∠CDF=∠EBC CD=EB

，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在?ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③，共3个．
故答案为：3．

点评：本题考查了平行四边形的对边相等，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，仔细分析便不难求解．