Question

【题目】如图，已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，E为AB的中点，且EC、ED分别为∠BCD、∠ADC的角平分线，EF⊥CD交BC的延长线于点G，连接DG.

（1）求证：CE⊥DE；

（2）若AB=6，求CF·DF的值；

（3）当△BCE与△DFG相似时，的值是 .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CF·DF的值为9；（3）的值为或

【解析】

(1)利用平行线及角平分线的性质即可证明；

（2）可证△CFE∽△EFD，可得 ，变形得 由角平分线性质可得

FF=EA=3，代入即可得结论

（3）分类讨论：若△BCE∽△FDG，可证△BCE≌△FEC、△ADE≌△FED，过G作GH⊥AD于H可证△BCE∽△HDG可得 即可得；当△BCD∽△FGD时可证△CFE≌△CFG可推出∠1=60°，∠4=30°在Rt△BCE中 ，在Rt△ADE中 即可得的值.

(1)证明：

∵BC∥AD

∴∠BCD+∠ADC=180°

∵EC、ED分别平分∠BCD、∠ADC

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°

∴∠2+∠3=90° ∴∠CED=90°

∴CE⊥DE

(2)∵CE⊥DE，EF⊥CD

∴∠2+∠5=90°，∠2+∠3=90°

∴∠5=∠3

∴△CFE∽△EFD

∴

∴

∵ED平分∠FDA，∠A=∠EFD=90°

∴FF=EA

∵E为AB中点，AB=6

∴FE=AE=BE=3

∴

(3) 若△BCE∽△FDG

∴∠1=∠FDG

∵∠1=∠2

∴∠2=∠FDG

∴EC∥CD

∴

∵∠1=∠2，∠EBC=∠CFE=90°，EC=EC

∴△BCE≌△FCE

∴BC=CF

∵∠3=∠4，∠A=∠EFD=90°，ED=ED

∴△ADE≌△FDE

∴AD=FD

∴

∴

过G作GH⊥AD于H

∴∠DHG=90°

∵∠3=∠4，∠FDG=∠2

又∵∠3+∠4+∠FDG+∠GDH=180°

∠3+∠4+∠1+∠2=180°

∴∠GDH=∠1

又∵∠GFD=∠B=90°

∴△BCE∽△HDG

∴

∵

∴

∴

∴

∴

当△BCD∽△FGD

∴∠GDF=∠BEC

∴∠BEC=∠5=∠3=∠4

∵FD=FD，∠3=∠FDG，∠EFD=∠GFD

∴△EDF≌△GFD

∴EF=FG

∵FD⊥EG

∴∠EFC=∠GFC=90°

又∵CF=CF

∴△CFE≌△CFG

∴∠2=∠GCD

∴∠1=∠2=∠GCD

∵∠1+∠2+∠GCD=180°

∴∠1=60°

∴∠4=30°

在Rt△BCE中

在Rt△ADE中

∴

综上所述的值为或