Question

【题目】如图，在矩形中，，，反比例函数（）的图像与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且.

（1）求点D的坐标和的值；

（2）求证：；

（3）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），4；（2）见解析；（3）存在点，或.

【解析】

（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；

（2）由E点在反比例函数图像上，可求E点坐标，进而求出EC的长即可求证.
（3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

解：（1）在矩形中，轴，且，

∴点的纵坐标为3.

∵，且，

，

∴.

∴点在反比例函数图像上，

∴.

（2）证：∵在上，

∴横坐标为4，

在中，当时，，

∴.

∴，

∴，

∴.

（3）存在点，使，其过程是：

设，则.

，

，

，

.

，

.

，即.解得或.

或.