Question

如图所示，任意△ABC，分别以AB、AC为腰，以A为顶角的顶点向△ABC的两侧作等腰△ABM、等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM=x，MC与NB的延长线交于O．
（1）如图一，若x=45°，则∠O=

 

；
（2）如图二，若x=30°，则∠O=

 

；
（3）如图三，猜想∠BOC的度数（用含x的式子表示），并证明你的结论．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：根据等腰三角形的性质求出∠CAN=∠BAM，然后求出∠BAN=∠MAC，然后利用“边角边”证明△ABN和△AMC，根据全等三角形对应角相等可得∠ABN=∠AMC，然后表示出∠BMO和∠NBM，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠NBM=∠O+∠BMO，然后整理即可得到∠O与x的关系式，再把x的值分别代入进行计算即可得解．

解答：解：∵△ABM、△ACN都是等腰三角形，∠ANC=∠ABM，
∴AB=AM，AC=AN，∠CAN=∠BAM，
∴∠CAN-∠BAC=∠BAM-∠BAC，
即∠BAN=∠MAC，
在△ABN和△AMC中，

AB=AM ∠BAN=∠MAC AC=AN

，
∴△ABN≌△AMC（SAS），
∴∠ABN=∠AMC，
∵∠ANC=∠ABM=x，
∴∠BMO=∠AMC-x，∠NBM=∠ABN+x，
在△BOM中，由三角形的外角性质，∠NBM=∠O+∠BMO，
即∠ABN+x=∠O+∠AMC-x，
∴∠O=2x，
（1）x=45°时，∠O=2x=2×45°=90°；

（2）x=30°时，∠O=2x=2×30°=60°；
故答案为：（1）90°；（2）60°；

（3）∠BOC=2x．

点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，求出三角形全等，然后表示出∠BMO和∠NBM是解题的关键，也是本题的难点．