Question

已知:r如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°.对角线AC、BD相交于点E。且AC⊥BD。（1）求证：CD²=BC·AD；（2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：。

 

Answer 1

见解答过程.

解析试题分析：（1）首先根据已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；
（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出AG:AD=AB:BD，再利用△ABG∽△DBA，得出BG:AB="AB:BD" ，则AB²=BG•BD，进而得出答案．
试题解析：证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴△ACD∽△DBC，
∴AD CD ="CD" BC ，
即CD2=BC×AD；
（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，
∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，
∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA，
∴S△ABG:S△DBA =（）²=AG²:AD²，
而S△ABG:S△DBA="BG:BD" ，∴AG²:AD² ="BG:BD" ．
考点：相似三角形的判定与性质．