Question

【题目】如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．

（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；
（2）证明图2中的△ABC与△AEF两个互补三角形面积相等；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为 、 、 的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．
②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．

（2）解：如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．

∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，

∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠EAF+∠BAC=180°，

∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．

∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，

∴∠EAH=∠BAC，

∵AF=AC，

∴AH=AC，

在△AEH和△ABC中，

∴△AEH≌△ABC，

∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．

（3）解：①边长为 、 、 的三角形如图4所示．

∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，

∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．

②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，

∴AM⊥BC，

∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，

∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，

∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，

∴△AEM≌△DBI，

∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，

∴△DBI和△ABC是互补三角形，

∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，

∴S△EFM=3S△ABC=6．

【解析】（1）作BC边上的中线AD，根据三角形中线的定义知BD=CD，AD=AD,根据领补角的定义+=180,根据互补三角形的定义△ABD和△ADC是互补三角形；
（2）延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．根据正方形的性质AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，根据周角的定义知∠EAF+∠BAC=180°，根据互补三角形的定义得出△AEF和△ABC是两个互补三角形，根据同角的余角相等得出∠EAH=∠BAC，根据正方形的性质及作的辅助线知AH=AC,进而利用SAS判断出△AEH≌△ABC，从而根据全等三角形的面积相等得出S△AEH=S△ABC，由根据等底同高的两个三角形面积相等得出S△AEF=S△AEH，从而得出S△AEF=S△AEH=S△ABC；
（3）①利用勾股定理，结合网格结构画出边长为，，的三角形即可；利用割补法求面积即可；②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，根据平行线的性质得出AM⊥BC，根据垂直的定义得出∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，根据周角的定义，及等量代换得出∠EAM=∠DBI，从而判断出△AEM≌△DBI，在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，根据互补三角形的定义知△DBI和△ABC是互补三角形，然后得出结论。

【考点精析】掌握三角形的面积和正方形的性质是解答本题的根本，需要知道三角形的面积=1/2×底×高；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．