Question

8．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，点D在AB上，且DB=DC．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若AD=2BD，CD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB、OD，证明OB⊥AB，再证△OBD≌△OCD，证得∠OBD=∠OCD=90°，即可证得结论；
（2）根据题意求得AD=2DC，即可证得∠A=30°，求得AB=6，然后解直角三角形AOB即可求得半径OB．

解答 （1）证明：连接OB、OD，
∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，
在△OBD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OD=OD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△OCD（SSS），
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：∵DB=DC，AD=2BD，CD=2，
∴DB=2，AD=4，
∴AB=DB+AD=6，
∵DB=DC，AD=2BD，
∴AD=2DC，
∵DC⊥OC，
∴DC⊥AC，
∴∠A=30°，
在RT△AOB中，tan∠A=$\frac{OB}{AB}$，
∴OB=tan30°×6=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等，求得∠A=30°是解题的关键．