Question

6．如图，边长为4$\sqrt{2}$的正方形ABCD内接于⊙O，AM是⊙O的内接正十二边形的一边，求CM的长．

Answer 1

分析 连接AC、OM，作MH⊥AC于H，根据正方形的性质得到AC是⊙O的直径、求出AC的长，根据直角三角形的性质求出MH=$\frac{1}{2}$OM，根据勾股定理求出答案．

解答 解：连接AC、OM，作MH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∴AC为⊙O的直径，且AC=8，
∵AM是⊙O的内接正十二边形的一边，
∴∠AOM=$\frac{360°}{12}$=30°，
∴MH=$\frac{1}{2}$OM=2，
由勾股定理得，OH=$\sqrt{O{M}^{2}-M{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则CH=4+2$\sqrt{3}$，
∴CM=$\sqrt{C{H}^{2}+M{N}^{2}}$
=$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$
=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的求法、直径所对的圆周角是直角和正方形的性质是解题的关键．