Question

8．如图，已知抛物线y=a（x²+2x-3）（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若△PAC的周长最小，求此时点P的坐标；
（4）点P在抛物线的对称轴上，问是否在抛物线上存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出Q的坐标；如果不存在，请什么理由．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而确定出抛物线的解析式；
（2）在第二象限图象的抛物线上任取一点E，过E作EF垂直于x轴，垂足为F，连接BE，EC，BC，△BEC的面积=△BEF的面积+梯形COFE的面积-△BOC的面积，由抛物线与y轴的交点为C，求出C的坐标得到OC的长，由B的坐标得到OB的长，又△BOC为直角三角形，两直角边OB与OC乘积的一半即为△BOC的面积，此面积为定值，故要求△BEC面积的最大值，即要求三角形BEF的面积+梯形COFE的面积的最大值，设出E的坐标（m，-m²-2m+3），EF为E的纵坐标，OF为E横坐标的绝对值，BF=OB-OF，而△BEF为直角三角形，利用两直角边EF与BF乘积的一半表示出此三角形的面积，再根据上下底之和的一半乘以高表示出梯形OCFE的面积，进而表示出△BEF的面积+梯形COFE的面积之和，配方后根据二次项系数小于0，得到抛物线开口向下，二次函数有最大值，利用二次函数的性质求出此时面积之和的最大值，用求出面积之和的最大值减去△BOC的面积，即可得到△BEC面积的最大值，由此时求出的m，可确定出此时E的坐标；
（3）由点A和点B关于x轴对称，连接BC交对称轴与点P，则点P就是使△PAC的周长最小的点，由于抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，于是设P（-1，b），求得直线BC的解析式为y=-x+3，把P（-1，b）代入y=-x+3即可得到结论；
（4）存在，设P（-1，b），Q（a，-a²-2a+3），根据勾股定理得到AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根据平行四边形的性质得到PQ=AC，PQ∥AC，过Q作QH⊥对称轴于H，推出△ACO∽△PQH，根据相似三角形的性质得到$\frac{OA}{OC}$=$\frac{QH}{PH}$，求得b=-a²+a+6，根据两点间的距离公式得到$\sqrt{（-1-a）^{2}+（b+{a}^{2}+2a-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，于是得到方程（1+a）²+（-a²+a+6+a²+2a-3）²=10，解得a=-2，于是得到结论．

解答 解：（1）∵y=a（x²+2x-3）（a≠0）与x轴交于点A和点B，
∴当y=0时，即a（x²+2x-3）=0，解得：x₁=-3，x₂=1，
∴A（1，0），B（-3，0），
∵OC=OB，
∴OC=OB=3，
∴C（0，3），
把C（0，3）代入y=a（x²+2x-3）得：3=a（-3），
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，连接BE，FC，BC，
设E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），
∴EF=-m²-2m+3，BF=m+3，OF=-m，
∴S_{四边形BOCE}=$\frac{1}{2}$BF•EF+$\frac{1}{2}$（OC+EF）•OF
=$\frac{1}{2}$（m+3）•（-m²-2m+3）+$\frac{1}{2}$（-m²-2m+6）•（-m）
=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为$\frac{63}{8}$，
而S_△BOC值一定，具体求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{9}{2}$，
则△BCE面积的最大值S=S_{四边形BOCE}-S_△BOC=$\frac{63}{8}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{8}$，
又∵当m=-$\frac{3}{2}$时，-m²-2m+3=-（-$\frac{3}{2}$）²-2×（-$\frac{3}{2}$）+3=$\frac{15}{4}$，
则此时点E坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）∵点A和点B关于x轴对称，
∴连接BC交对称轴与点P，
则点P就是使△PAC的周长最小的点，
∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（-1，b），
故直线BC的解析式为：y=x+3，
把P（-1，b）代入y=-x+3得b=2，
∴P（-1，2）；

（4）存在，如图2，
设P（-1，b），Q（a，-a²-2a+3），
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ=AC，PQ∥AC，过Q作QH⊥对称轴于H，
∴∠ACO=∠QPH，
∴△ACO∽△PQH，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{QH}{PH}$，
∴$\frac{-a-1}{-{a}^{2}-2a+3-b}=\frac{1}{3}$，
∴b=-a²+a+6，
∵$\sqrt{（-1-a）^{2}+（b+{a}^{2}+2a-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴（1+a）²+（-a²+a+6+a²+2a-3）²=10，
解得：a=0（不合题意舍去），a=-2，
∴Q（-2，3）．
∴在抛物线上存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求最短距离问题，两点间的距离公式，平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系，利用二次函数求面积的最大值，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据图形得出三角形BEC的面积=三角形BEF的面积+梯形COFE的面积-三角形BOC的面积是解本题第二问的关键．