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【题目】如图,已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上,顶点B的坐标是(6,4),反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形对角线的交点E,且与BC边交于点D.

(1)求反比例函数的解析式与点D的坐标;直接写出ODE的面积;

(2)若P是OA上的动点,求使得PD+PE之和最小时的直线PE的解析式.

【答案】(1)D(1.5,4),4.5;(2)y=4x+10.

【解析】

试题分析:(1)连接OE,则O、E、三点共线,则E是OB的中点,即可求得E的坐标,利用待定系数法求得函数的解析式,进而求得D的坐标;根据SODE=SOBCSOCDSBDE即可求解;(2)作E关于OA轴的对称点E',则直线DE'就是所求的直线PE,利用待定系数法即可求解.

试题解析:(1)如图:连接OB,则O、E、B三点共线.B的坐标是(6,4),E是矩形对角线的交点,E的坐标是(3,2),k=3×2=6,则函数的解析式是y=.当y=4时,x=1.5,即D的坐标是(1.5,4);SOBC=BCOC=×6×4=12,SOCD=OCCD=×4×1.5=3,SBDE=×(61.5)×2=4.5,则SODE=SOBCSOCDSBDE=12334.5=4.5;(2)作E关于OA轴的对称点E',则E'的坐标是(3,2).连接E'D,与x轴交点是P,此时PO+PE最小.设y=mx+n,把E'和D的坐标代入得:,解得:

则直线PE的解析式是y=4x+10.

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