Question

【题目】附加题,已知：矩形，，动点从点开始向点运动，动点速度为每秒1个单位，以为对称轴，把折叠，所得与矩形重叠部分面积为，运动时间为秒.

（1）当运动到第几秒时点恰好落在上；

（2）求关于的关系式，以及的取值范围；

（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形面积的；

（4）连接，以为对称轴，将作轴对称变换，得到，当为何值时，点在同一直线上？

Answer 1

【答案】（1）第2秒时；（2）；（3）第4秒时；（4）=1或4

【解析】

（1）先画出符合题意的图形如图1，根据题意和轴对称的性质可判定四边形为正方形，可得BP的长，进而可得答案；

（2）分两种情况：①当时，如图2，根据折叠的性质可得：，进而可得y与t的关系式；②当时，如图3，由折叠的性质和矩形的性质可推出，设，然后在直角△中利用勾股定理即可求得x与t的关系，进一步利用三角形的面积公式即可求出y与t的关系式；

（3）在（2）题的基础上，分两种情况列出方程，解方程即得结果；

（4）如图4，当点在同一直线上，根据折叠的性质可得，进一步可得，进而可推出，然后利用相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求出结果.

解：（1）当点恰好落在上时，如图1，由折叠的性质可得：，

∵四边形为矩形，∴，

∴四边形为正方形，∴，

∵动点速度为每秒1个单位，∴，

即当运动到第2秒时点恰好落在上；

（2）分两种情况：

①当时，如图2，，由折叠得：，

∴；

②当时，如图3，由折叠得：，

∵，∴，∴，∴，

设，则，

在直角△中，由勾股定理得：，解得：，

∴，

综上所述：；

（3）①当时，，则（舍去），

②当时，，解得：（舍去），，

综上所述：在第4秒时，重叠部分面积是矩形面积的；

（4）如图4，点在同一直线上，由折叠得：，

∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，解得：，

∴当=1或4时，点在同一直线上.