Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE=BF．求证：∠A=∠C．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先根据平行线的性质可得∠DBC=∠BDA=90°，再根据直角三角形的性质可得DE=

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2

AB，BF=

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DC，然后可得AB=CD，再证明Rt△ADB≌Rt△CBD可得∠A=∠C．

解答：证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，
∴∠DBC=∠BDA=90°，
∵在Rt△ADB中，E是AB的中线，
∴DE=

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AB，
同理：BF=

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DC，
∵DE=BF，
∴AB=CD，
在Rt△ADB和Rt△CBD中，

AB=CD DB=BD

，
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL），
∴∠A=∠C．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是找出证明Rt△ADB≌Rt△CBD的条件．