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【题目】如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;

(3)连接OFOE,探究AOFEOC的数量关系,并证明.

【答案】1y=;(2)点F的坐标为(24).(3∠AOF=∠EOC.见解析

【解析】试题分析:(1)设反比例函数的解析式为y=,把点E34)代入即可求出k的值,进而得出结论;

2)由正方形AOCB的边长为4,故可知点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上,所以点D的纵坐标为3,即D43),由点D在直线y=﹣x+b上可得出b的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标;

3)在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H,由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG△EGB≌△HGCASA),故可得出EG=HG.设直线EG的解析式为y=mx+n,把E34),G42)代入即可求出直线EG的解析式,故可得出H点的坐标,在Rt△AOF中,AO=4AE=3,根据勾股定理得OE=5,可知OH=OE,即OG是等腰三角形底边EF上的中线.所以OG是等腰三角形顶角的平分线,由此即可得出结论.

解:(1)设反比例函数的解析式y=

反比例函数的图象过点E34),

∴4=,即k=12

反比例函数的解析式y=

2正方形AOCB的边长为4

D的横坐标为4,点F的纵坐标为4

D在反比例函数的图象上,

D的纵坐标为3,即D43).

D在直线y=﹣x+b上,

∴3=﹣×4+b,解得b=5

直线DFy=﹣x+5

y=4代入y=﹣x+5,得4=﹣x+5,解得x=2

F的坐标为(24).

3∠AOF=∠EOC

证明:在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H

∵AO=CO=4∠OAF=∠OCG=90°AF=CG=2

∴△OAF≌△OCGSAS).

∴∠AOF=∠COG

∵∠EGB=∠HGC∠B=∠GCH=90°BG=CG=2

∴△EGB≌△HGCASA).

∴EG=HG

设直线EGy=mx+n

∵E34),G42),

,解得,

直线EGy=﹣2x+10

y=﹣2x+10=0,得x=5

∴H50),OH=5

Rt△AOE中,AO=4AE=3,根据勾股定理得OE=5

∴OH=OE

∴OG是等腰三角形底边EH上的中线.

∴OG是等腰三角形顶角的平分线.

∴∠EOG=∠GOH

∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF=∠EOC

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