Question

10．如图，已知矩形ABCD，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，连接B′C
（1）求证：AE∥B′C；
（2）若AB=4，BC=6，求线段B′C的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠EB′C=∠B′CE，根据三角形的外角的性质得到∠BEA=∠B′CE，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）连接BB′，根据三角形的面积公式求出BH，得到BB′，根据直角三角形的判定得到∠BB′C=90°，根据勾股定理求出答案．

解答 （1）证明：∵点E为BC的中点，
∴BE=EC，
∵B′E=BE，
∴B′E=EC，
∴∠EB′C=∠B′CE，
由题意得，∠BEA=∠B′EA，
∴∠BEA=∠B′CE，
∴AE∥B′C；
（2）解：连接BB′，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，又AB=4，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
∴BH=$\frac{12}{5}$，则BB′=$\frac{24}{5}$，
∵B′E=BE=EC，
∴∠BB′C=90°，
∴B′C=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．