Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠B=70°，求弧DE的度数．
（3）若BD=2，BE=3，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连结AE，如图，由圆周角定理得∠AEC=90°，而AB=AC，则根据等腰三角形的性质即可判断BE=CE；
（2）连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，利用互余计算出∠BAE=20°，再根据圆周角定理得∠DOE=2∠DAE=40°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到弧DE的度数为40°；
（3）连结CD，如图，BC=2BE=6，设AC=x，则AD=x-2，由圆周角定理得∠ADC=90°，在Rt△BCD中，利用勾股定理得CD²=32，然后在Rt△ADC中再利用勾股定理得到（x-2）²+32=x²，接着解方程求出x即可．

解答 （1）证明：连结AE，如图，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）解：连结OD、OE，如图，
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DOE=2∠DAE=40°，
∴弧DE的度数为40°；
（3）解：连结CD，如图，BC=2BE=6，设AC=x，则AD=x-2，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△BCD中，CD²=BC²-BD²=6²-2²=32，
在Rt△ADC中，∵AD²+CD²=AC²，
∴（x-2）²+32=x²，解得x=9，
即AC的长为9．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．